Упр.26.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (2x+3)^2+12/x+4/x^2=56; 2) 12(1/x-x/6)=6/x^2+x^2/6+4.

1) $$\left(2x+3\right)^2+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^2}=56$$

Раскроем квадрат и приведём подобные:

$$4x^2+12x+9+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^2}=56$$

Умножим на $$x^2$$ и сгруппируем:

$$4x^4+12x^3-47x^2+12x+4=0$$

Удобно ввести замену $$y=x+\frac{1}{x}$$. Тогда

$$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$$

и исходное уравнение преобразуется к виду

$$12y+4(y^2-2)+1=56$$

$$4y^2+12y-55=0$$

$$D=12^2-4\cdot 4\cdot(-55)=1024$$

$$y_{1,2}=\frac{-12\pm 32}{8}$$

$$y_1=-\frac{11}{2},\qquad y_2=\frac{5}{2}$$

1) Если $$x+\frac{1}{x}=-\frac{11}{2}$$, то

$$2x^2+11x+2=0$$

$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 2=105$$

$$x=\frac{-11\pm \sqrt{105}}{4}$$

2) Если $$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$$, то

$$2x^2-5x+2=0$$

$$D=25-16=9$$

$$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{5+3}{4}=2$$

2) $$12\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{6}\right)=\frac{6}{x^2}+\frac{x^2}{6}+4$$

Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$6x^2$$:

$$72x-2x^3=36+x^4+24x^2+24x^2$$

Удобнее сразу ввести замену $$y=\frac{1}{x}-\frac{x}{6}$$. Тогда

$$\frac{6}{x^2}+\frac{x^2}{6}=\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{6}\right)^2+2$$

Следовательно,

$$12y=6(y^2+2)+4$$

$$6y^2-12y+16=0$$

$$3y^2-6y+8=0$$

Но дискриминант

$$D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 8=36-96<0$$

значит, действительных решений нет.

Ответ

1) $$x=\frac12,\ 2,\ \frac{-11-\sqrt{105}}{4},\ \frac{-11+\sqrt{105}}{4}$$; 2) действительных решений нет.