Упр.26.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (2x+10)(x+6)(2x+20)(x+12)-3x^2=0;
2) (x^2+6x-40)(x+5)(x-2)=18x^2.

Подробный ответ

$$ (2x+10)(x+6)(2x+20)(x+12)-3x^2=0 $$
Сгруппируем множители:
$$ (2x+10)(2x+20)(x+6)(x+12)-3x^2=0 $$
$$ (2x+10)(2x+20)=4(x+5)(x+10), \quad (x+6)(x+12)=x^2+18x+72 $$
Удобнее преобразовать так:
$$ (2x+10)(x+6)(2x+20)(x+12)=(2x+10)(2x+20)(x+6)(x+12) $$
$$ =(4x^2+60x+200)(x^2+18x+72) $$
После преобразований получаем уравнение, которое удобно свести к замене
$$ y=2x+\frac{120}{x}, \quad x\ne 0. $$
Тогда:
$$ \left(2x+\frac{120}{x}+34\right)\left(2x+\frac{120}{x}+32\right)=3 $$
$$ (y+34)(y+32)=3 $$
$$ y^2+66y+1085=0 $$
$$ D=66^2-4\cdot1085=16 $$
$$ y_1=\frac{-66-4}{2}=-35,\quad y_2=\frac{-66+4}{2}=-31 $$
1) $$ 2x+\frac{120}{x}=-35 $$
$$ 2x^2+35x+120=0 $$
$$ D=35^2-4\cdot2\cdot120=265 $$
$$ x=\frac{-35\pm\sqrt{265}}{4} $$
2) $$ 2x+\frac{120}{x}=-31 $$
$$ 2x^2+31x+120=0 $$
$$ D=31^2-4\cdot2\cdot120=1 $$
$$ x_1=\frac{-31-1}{4}=-8,\quad x_2=\frac{-31+1}{4}=-\frac{15}{2} $$
$$ (x^2+6x-40)(x+5)(x-2)=18x^2 $$
Разложим на множители:
$$ x^2+6x-40=(x+10)(x-4) $$
Тогда
$$ (x+10)(x-4)(x+5)(x-2)=18x^2 $$
$$ (x^2+8x-20)(x^2+3x-10)=18x^2 $$
Удобно ввести замену:
$$ y=x-\frac{20}{x}, \quad x\ne 0 $$
Получаем:
$$ \left(y+8\right)\left(y+1\right)=18 $$
$$ y^2+9y-10=0 $$
$$ D=9^2+4\cdot10=121 $$
$$ y_1=\frac{-9-11}{2}=-10,\quad y_2=\frac{-9+11}{2}=1 $$
1) $$ x-\frac{20}{x}=-10 $$
$$ x^2+10x-20=0 $$
$$ D=10^2+4\cdot20=180 $$
$$ x=\frac{-10\pm\sqrt{180}}{2}=-5\pm3\sqrt5 $$
2) $$ x-\frac{20}{x}=1 $$
$$ x^2-x-20=0 $$
$$ D=1+80=81 $$
$$ x_1=\frac{1-9}{2}=-4,\quad x_2=\frac{1+9}{2}=5 $$