Упр.26.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (x^2-2,5x+1)(x^2+3,5x+1)=-5x^2;
2) (x+2)(x+3)(x^2+20x+96)=4x^2.

Подробный ответ

$$\left(x^2-2{,}5x+1\right)\left(x^2+3{,}5x+1\right)=-5x^2$$
Преобразуем скобки:
$$\left(x-\frac{5}{2}+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{7}{2}+\frac{1}{x}\right)=-5$$
удобнее ввести замену
$$y=2x+\frac{2}{x}, \quad x\ne 0.$$
Тогда
$$\left(y-5\right)\left(y+7\right)=-20.$$
Раскроем скобки:
$$y^2+2y-35=-20,$$
$$y^2+2y-15=0.$$
Отсюда
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-15)=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}.$$
Значит,
$$y_1=-5,\quad y_2=3.$$
1) $$2x+\frac{2}{x}=-5,$$
$$2x^2+5x+2=0,$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{4}.$$
Получаем
$$x=-2,\quad x=-\frac{1}{2}.$$
2) $$2x+\frac{2}{x}=3,$$
$$2x^2-3x+2=0,$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 2=-7<0.$$ Действительных корней нет.
$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x^2+20x+96\right)=4x^2$$
Разложим на множители:
$$x^2+20x+96=(x+12)(x+8),$$
тогда
$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+12\right)\left(x+8\right)=4x^2.$$
Сгруппируем:
$$\left(x^2+14x+24\right)\left(x^2+11x+24\right)=4x^2.$$
Перепишем:
$$\left(x+14+\frac{24}{x}\right)\left(x+11+\frac{24}{x}\right)=4,\quad x\ne 0.$$
Введём замену
$$y=x+\frac{24}{x}.$$
Тогда
$$\left(y+14\right)\left(y+11\right)=4.$$
Получаем:
$$y^2+25y+154=4,$$
$$y^2+25y+150=0.$$
$$D=25^2-4\cdot 150=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{-25\pm 5}{2}.$$
Значит,
$$y_1=-15,\quad y_2=-10.$$
1) $$x+\frac{24}{x}=-15,$$
$$x^2+15x+24=0,$$
$$D=15^2-4\cdot 24=129,$$
$$x=\frac{-15\pm \sqrt{129}}{2}.$$
2) $$x+\frac{24}{x}=-10,$$
$$x^2+10x+24=0,$$
$$D=10^2-4\cdot 24=4,$$
$$x_{1,2}=\frac{-10\pm 2}{2}.$$
Получаем
$$x=-6,\quad x=-4.$$