Упр.26.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x(x+4)(x+5)(x+9)=-36;
2) (x^2+4x+3)(x+5)(x+7)=-16.

1) $$x(x+4)(x+5)(x+9)=-36$$

Сгруппируем множители:

$$x(x+9)(x+4)(x+5)=-36$$

$$\bigl(x^2+9x\bigr)\bigl(x^2+9x+20\bigr)=-36$$

Пусть $$y=x^2+9x$$, тогда получаем:

$$y(y+20)=-36$$

$$y^2+20y+36=0$$

$$D=20^2-4\cdot 36=400-144=256$$

$$y_{1,2}=\frac{-20\pm 16}{2}$$

$$y_1=-18,\quad y_2=-2$$

1) Если $$x^2+9x=-18$$, то

$$x^2+9x+18=0$$

$$D=9^2-4\cdot 18=81-72=9$$

$$x_{1,2}=\frac{-9\pm 3}{2}$$

$$x_1=-6,\quad x_2=-3$$

2) Если $$x^2+9x=-2$$, то

$$x^2+9x+2=0$$

$$D=9^2-4\cdot 2=81-8=73$$

$$x_{1,2}=\frac{-9\pm \sqrt{73}}{2}$$

2) $$\bigl(x^2+4x+3\bigr)(x+5)(x+7)=-16$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=-16 $$

Сгруппируем:

$$\bigl(x^2+8x+7\bigr)\bigl(x^2+8x+15\bigr)=-16$$

Пусть $$y=x^2+8x$$, тогда

$$ (y+7)(y+15)=-16 $$

$$y^2+22y+105=-16$$

$$y^2+22y+121=0$$

$$ (y+11)^2=0 $$

$$y=-11$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^2+8x=-11$$

$$x^2+8x+11=0$$

$$D=8^2-4\cdot 11=64-44=20$$

$$x_{1,2}=\frac{-8\pm \sqrt{20}}{2}=\frac{-8\pm 2\sqrt5}{2}=-4\pm \sqrt5$$

Ответ

1) $$x=-6,\,-3,\,\frac{-9\pm \sqrt{73}}{2}$$; 2) $$x=-4\pm \sqrt5$$.