Упр.26.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) |x^2-7x+3|=|x-4|; 4) v(3x+7)=7-x;
2) |x^2-3x-1|=x-1; 6) 7^(2x+3)=7^(3-x);
3) v(4x^2-5x)=v(3x^2-2x-2); 6) log_3 (x^2-7)=log_3 (-x-1).

1. $$|x^2-7x+3|=|x-4|$$

   Рассмотрим два случая:

   $$x^2-7x+3=x-4$$
   $$x^2-8x+7=0$$
   $$D=64-28=36$$
   $$x=\frac{8\pm 6}{2}$$
   $$x_1=1,\quad x_2=7$$

   $$x^2-7x+3=-(x-4)$$
   $$x^2-6x-1=0$$
   $$D=36+4=40$$
   $$x=\frac{6\pm \sqrt{40}}{2}=3\pm \sqrt{10}$$

2. $$|x^2-3x-1|=x-1$$

   Так как правая часть неотрицательна, то $$x-1\ge 0$$, значит $$x\ge 1$$.

   $$x^2-3x-1=x-1$$
   $$x^2-4x=0$$
   $$x(x-4)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=4$$

   С учётом условия $$x\ge 1$$ подходит только $$x=4$$.

   $$x^2-3x-1=-(x-1)$$
   $$x^2-2x=0$$
   $$x(x-2)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=2$$

   С учётом $$x\ge 1$$ подходит только $$x=2$$.

3. $$\sqrt{4x^2-5x}=\sqrt{3x^2-2x-2}$$

   Возведём в квадрат:

   $$4x^2-5x=3x^2-2x-2$$
   $$x^2-3x+2=0$$
   $$\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0$$
   $$x=1 \text{ или } x=2$$

   Проверим область определения:

   $$4x^2-5x\ge 0$$
   $$x(4x-5)\ge 0$$
   $$x\le 0 \text{ или } x\ge \frac54$$

   Из найденных корней подходит только $$x=2$$.

4. $$\sqrt{3x+7}=7-x$$

   Область определения:

   $$3x+7\ge 0,\quad 7-x\ge 0$$
   $$x\ge -\frac73,\quad x\le 7$$

   Возведём в квадрат:

   $$3x+7=(7-x)^2$$
   $$3x+7=49-14x+x^2$$
   $$x^2-17x+42=0$$
   $$\left(x-3\right)\left(x-14\right)=0$$
   $$x=3 \text{ или } x=14$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=3$$.

5. $$7^{2x+3}=7^{3-x}$$

   Так как основания равны и больше 0, приравниваем показатели:

   $$2x+3=3-x$$
   $$3x=0$$
   $$x=0$$

6. $$\log_3(x^2-7)=\log_3(-x-1)$$

   Приравниваем аргументы логарифмов:

   $$x^2-7=-x-1$$
   $$x^2+x-6=0$$
   $$\left(x+3\right)\left(x-2\right)=0$$
   $$x=-3 \text{ или } x=2$$

   Проверим область определения:

   $$x^2-7>0,\quad -x-1>0$$
   $$x^2>7,\quad x<-1$$

   Подходит только $$x=-3$$.

Ответ

1) $$1,\;7,\;3-\sqrt{10},\;3+\sqrt{10}$$; 2) $$2,\;4$$; 3) $$2$$; 4) $$3$$; 5) $$0$$; 6) $$-3$$.