Упр.25.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(2x)/(1+ctg^2(x))=0; 2) sin(2x)/(1-sin(x))=2cos(x).

1. $$\frac{\sin 2x}{1+\ctg^2 x}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю:

   $$\sin 2x=0$$
   $$2x=\pi n$$
   $$x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z$$

   Проверим область определения. Выражение $$\ctg x$$ определено при $$\sin x\ne 0$$, то есть
   $$x\ne \pi n.$$
   Среди найденных значений подходят только нечётные полуцелые кратные:

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\frac{\sin 2x}{1-\sin x}=2\cos x$$

   Умножим обе части на $$1-\sin x$$:

   $$\sin 2x=2\cos x(1-\sin x)$$

   Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$, получаем:

   $$2\sin x\cos x=2\cos x(1-\sin x)$$
   $$2\cos x(\sin x-1+\sin x)=0$$
   $$2\cos x(2\sin x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12$$

   1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
   
   2) $$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

   Проверим ОДЗ: $$1-\sin x\ne 0$$, то есть $$\sin x\ne 1$$. Полученные решения этому условию удовлетворяют.

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$