Упр.25.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) sin(2x)/(1+tg^2(x))=0; 2) sin(x)/(1+cos(x))=0; 3) (2sin^2(x)+3sin(x))/(1-cos(x))=0.
$$\frac{\sin 2x}{1+\tg^2 x}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$\sin 2x=0,$$
$$2x=\pi n,$$
$$x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in \mathbb{Z}.$$
Проверим область определения:
$$1+\tg^2 x\ne 0.$$
Так как $$1+\tg^2 x>0$$ при всех допустимых $$x$$, то нужно лишь исключить точки, где не определён $$\tg x$$:
$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
Из найденных значений подходят только
$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
$$\frac{\sin x}{1+\cos x}=0$$
Тогда
$$\sin x=0,$$
$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Проверим знаменатель:
$$1+\cos x\ne 0,$$
$$\cos x\ne -1,$$
то есть $$x\ne \pi+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
Из решений $$x=\pi n$$ подходят все чётные значения $$n$$, поэтому
$$x=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
$$\frac{2\sin^2 x+3\sin x}{1-\cos x}=0$$
Числитель равен нулю:
$$2\sin^2 x+3\sin x=0,$$
$$\sin x(2\sin x+3)=0.$$
Отсюда
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x+3=0.$$
Уравнение $$2\sin x+3=0$$ не имеет решений, так как $$\sin x\in[-1,1]$$.
Значит,
$$\sin x=0,$$
$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Проверим знаменатель:
$$1-\cos x\ne 0,$$
$$\cos x\ne 1,$$
то есть $$x\ne 2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
Следовательно, остаются только нечётные кратные $$\pi$$:
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Ответ
1) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; 2) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; 3) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$.
