Упр.25.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) уравнение (|x|+3)f(x)=2|x|+6 заменить на уравнение f(x)=2;
2) уравнение (tg^2(x)+1)f(x)=tg^2(x)+1 заменить на уравнение f(x)=1;
3) уравнение f(x)/(x^2+3)=0 заменить на уравнение f(x)=0;
4) уравнение f(x)/lg^2 x=0 заменить на уравнение f(x)=0;
5) уравнение (x+1)f(x)=3(x+1) заменить на уравнение f(x)=3;
6) уравнение (vx-1)f(x)=vx-1 заменить на уравнение f(x)=1;
7) уравнение log_2 f(x)=0 заменить на уравнение f(x)=1;
8) уравнение log_x f(x)=0 заменить на уравнение f(x)=1;
$$ (|x|+3)f(x)=2|x|+6=2(|x|+3). $$
Так как $$|x|+3>0$$ при любом $$x$$, то можно разделить обе части на $$|x|+3$$:
$$ f(x)=2. $$
Множество корней не изменится.
$$ (\tg^2 x+1)f(x)=\tg^2 x+1. $$
Поскольку $$\tg^2 x+1>0$$ при всех $$x$$, где определена функция $$\tg x$$, получаем:
$$ f(x)=1. $$
Но уравнение $$\tg x$$ не определено при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}. $$
Значит, множество корней может расшириться на точки $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}. $$
$$ \frac{f(x)}{x^2+3}=0. $$
Так как $$x^2+3>0$$ при любом $$x$$, то дробь равна нулю тогда и только тогда, когда
$$ f(x)=0. $$
Множество корней не изменится.
$$ \frac{f(x)}{\lg^2 x+1}=0. $$
Знаменатель всегда положителен при $$x>0$$:
$$ \lg^2 x+1>0. $$
Поэтому уравнение равносильно
$$ f(x)=0, \qquad x>0. $$
При замене на $$f(x)=0$$ множество корней может расшириться на все $$x\le 0$$, где исходное уравнение не определено.
$$ (x+1)f(x)=3(x+1). $$
Если $$x\ne -1$$, то можно разделить на $$x+1$$ и получить
$$ f(x)=3. $$
Но при $$x=-1$$ исходное уравнение обращается в тождество $$0=0$$, поэтому $$x=-1$$ тоже является корнем независимо от $$f(x)$$.
Значит, при замене на $$f(x)=3$$ множество корней может сузиться на $$x=-1$$.
$$ (\sqrt{x}-1)f(x)=\sqrt{x}-1. $$
При $$x\ge 0$$ и $$\sqrt{x}\ne 1$$ можно разделить на $$\sqrt{x}-1$$ и получить
$$ f(x)=1. $$
Но при $$x=1$$ исходное уравнение превращается в $$0=0$$, значит, $$x=1$$ — корень независимо от $$f(x)$$.
Кроме того, при замене на $$f(x)=1$$ область определения расширяется на $$x<0$$, где исходное уравнение не имеет смысла.
$$ \log_2 f(x)=0. $$
Это равносильно
$$ f(x)=1. $$
Условие $$f(x)>0$$ при $$f(x)=1$$ выполняется автоматически, поэтому множество корней не изменится.
$$ \log_x f(x)=0. $$
Из равенства логарифма нулю получаем
$$ f(x)=1, $$
но при этом должны выполняться условия существования логарифма:
$$ x>0,\quad x\ne 1. $$
Следовательно, при замене на $$f(x)=1$$ множество корней может расшириться на $$x\le 0$$ и на $$x=1$$.
Ответ
1) никак; 2) может расшириться на $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; 3) никак; 4) может расшириться на $$x\le 0$$; 5) может сузиться на $$x=-1$$; 6) может сузиться на $$x=1$$ и расшириться на $$x<0$$; 7) никак; 8) может расшириться на $$x\le 0$$ и $$x=1$$.
