Упр.25.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) x^2+1/(x+10)=100+1/(x+10) и x^2=100;
2) v(x^2-x-1)=v(5x) и x^2-x-1=5x;
3) v(x^2-4)=v(x+2) и v(x-2)v(x+2)=v(x+2);
4) v(x+7)=-x и x+7=x^2;
5) cos(x)=-2 и e^(x^2-x-11)=1;
6) log_3 |x+2|=1 и log_x |x+2|·log_3 x=1.

Подробный ответ

$$x^2+\frac{1}{x+10}=100+\frac{1}{x+10}$$
При $$x\neq -10$$ получаем:
$$x^2=100.$$
Первое уравнение имеет решение $$x=10$$, а второе — $$x=\pm 10$$. Значит, первое является следствием второго.
$$\sqrt{x^2-x-1}=\sqrt{5x}$$
Тогда
$$x^2-x-1=5x,$$
но нужно учитывать ОДЗ: $$x^2-x-1\ge 0$$ и $$5x\ge 0.$$
Из уравнения $$x^2-x-1=5x$$ получаем
$$x^2-6x-1=0,$$
$$D=36+4=40,$$
$$x=\frac{6\pm\sqrt{40}}{2}=3\pm\sqrt{10}.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=3+\sqrt{10}.$$ Следовательно, второе уравнение является следствием первого.
$$\sqrt{x^2-4}=\sqrt{x+2}$$
Тогда
$$x^2-4=x+2,$$
$$x^2-x-6=0,$$
$$x=3 \text{ или } x=-2.$$
Проверим ОДЗ: $$x+2\ge 0,$$ значит $$x\ge -2.$$ Оба корня подходят.
Во втором случае:
$$\sqrt{x-2}\sqrt{x+2}=\sqrt{x+2}.$$
При $$x\ge 2$$ можно разделить на $$\sqrt{x+2}$$ и получить
$$\sqrt{x-2}=1,$$
откуда $$x=3.$$
Значит, второе уравнение имеет меньше решений, чем первое, и первое является следствием второго.
$$\sqrt{x+7}=-x$$
Тогда обязательно $$x\le 0$$ и
$$x+7=x^2.$$
Из второго уравнения:
$$x^2-x-7=0,$$
$$D=1+28=29,$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt{29}}{2}.$$
С учётом условия $$x\le 0$$ подходит только
$$x=\frac{1-\sqrt{29}}{2}.$$
Следовательно, второе уравнение является следствием первого.
$$\cos x=-2$$
Это уравнение не имеет решений, так как $$-1\le \cos x\le 1.$$
Второе уравнение:
$$e^{x^2-x-11}=1$$
равносильно
$$x^2-x-11=0.$$
У него есть решения, значит первое уравнение является следствием второго.
$$\log_3|x+2|=1$$
Тогда
$$|x+2|=3,$$
откуда
$$x=-5 \text{ или } x=1.$$
Во втором уравнении:
$$\log_x|x+2|\cdot \log_3 x=1.$$
При $$x>0,\ x\ne 1$$ используем формулу перехода к новому основанию:
$$\log_x|x+2|=\frac{\log_3|x+2|}{\log_3 x}.$$
Тогда
$$\frac{\log_3|x+2|}{\log_3 x}\cdot \log_3 x=\log_3|x+2|=1,$$
то есть второе уравнение сводится к первому. Значит, первое является следствием второго.