Упр.25.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) |x|=2 и x^3=8;
2) x^2/(x-9)=81/(x-9) и x^2=64;
3) x^2=25 и x^2-1/(x+5)=25-1/(x+5);
4) (x^2-49)/(x+7)=0 и x^2-49=0;
5) v(x^2-2)=v(3x) и x^2-2=3x;
6) v(x^2 (x-1))=x и |x|v(x-1)=x;
7) v(x+3)=x и x+3=x^2;
8) sin(x)=3 и log_2 x=1;
9) lg (x^2-1)=lg (x-1)^2 и x^2-1=(x-1)^2;
10) 2tg(x)/(1-tg^2(x))=0 и tg(2x)=0;
11) 1/log_x 2=0 и log_2 x=0.

1. $$|x|=2 \Rightarrow x=\pm 2,$$

   $$x^3=8 \Rightarrow x=2.$$

   Второе уравнение является следствием первого.

2. $$\frac{x^2}{x-9}=\frac{81}{x-9}, \quad x\ne 9 \Rightarrow x^2=81 \Rightarrow x=\pm 9,$$

   но $$x=9$$ не подходит, значит $$x=-9.$$

   $$x^2=64 \Rightarrow x=\pm 8.$$

   Ни одно уравнение не является следствием другого.

3. $$x^2=25 \Rightarrow x=\pm 5,$$

   $$x^2-\frac{1}{x+5}=25-\frac{1}{x+5}, \quad x\ne -5 \Rightarrow x^2=25,$$

   при этом $$x=-5$$ не входит в ОДЗ, значит $$x=5.$$

   Второе уравнение является следствием первого.

4. $$\frac{x^2-49}{x+7}=0, \quad x\ne -7 \Rightarrow x^2-49=0 \Rightarrow x=\pm 7,$$

   но $$x=-7$$ не подходит, значит $$x=7.$$

   $$x^2-49=0 \Rightarrow x=\pm 7.$$

   Первое уравнение является следствием второго.

5. $$\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x} \Rightarrow x^2-2=3x,$$

   при этом $$x^2-2\ge 0,\; 3x\ge 0.$$

   Из уравнения $$x^2-3x-2=0$$ получаем $$x=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}.$$

   Уравнение $$x^2-2=3x$$ имеет те же корни, но без учёта условий подкоренных выражений.

   Второе уравнение является следствием первого.

6. $$\sqrt{x^2(x-1)}=x \Rightarrow x^2(x-1)=x^2,$$

   откуда $$x^2(x-2)=0.$$

   С учётом ОДЗ получаем $$x=2.$$

   $$|x|\sqrt{x-1}=x \Rightarrow x^2(x-1)=x^2,$$

   и снова $$x=2.$$

   Оба уравнения равносильны.

7. $$\sqrt{x+3}=x \Rightarrow x+3=x^2,\quad x\ge 0,$$

   откуда $$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}.$$

   $$x+3=x^2 \Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}.$$

   Первое уравнение является следствием второго.

8. $$\sin x=3$$ решений не имеет, так как $$|\sin x|\le 1.$$

   $$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2.$$

   Первое уравнение не является следствием второго и наоборот.

9. $$\lg(x^2-1)=\lg(x-1)^2 \Rightarrow x^2-1=(x-1)^2,$$

   при этом $$x^2-1>0,\; (x-1)^2>0.$$

   Из равенства получаем $$2x=2,$$ значит $$x=1,$$ но это не удовлетворяет ОДЗ.

   $$x^2-1=(x-1)^2 \Rightarrow x=1.$$

   Второе уравнение является следствием первого.

10. $$\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}=0 \Rightarrow \tg x=0,$$

    при этом $$1-\tg^2 x\ne 0.$$

    Тогда $$x=\pi n.$$

    $$\tg 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$

    Второе уравнение является следствием первого.

11. $$\frac{1}{\log_x 2}=0$$ решений не имеет, так как дробь равна нулю только при бесконечном знаменателе, а это невозможно.

    $$\log_2 x=0 \Rightarrow x=1.$$

    Первое уравнение не является следствием второго и наоборот.

Ответ

1) второе; 2) никакое; 3) второе; 4) первое; 5) второе; 6) оба; 7) первое; 8) никакое; 9) второе; 10) второе; 11) никакое.