Упр.25.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 25.23. Решите уравнение arcsin(x)=arccos(3x-1).

Возведём обе части уравнения в косинус:

$$\cos(\arcsin x)=\cos(\arccos(3x-1)).$$

Тогда

$$\sqrt{1-x^2}=3x-1.$$

Возведём в квадрат:

$$1-x^2=(3x-1)^2,$$

$$1-x^2=9x^2-6x+1,$$

$$10x^2-6x=0,$$

$$x(10x-6)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac35.$$

Проверим найденные значения в исходном уравнении.

При $$x=0$$ имеем:

$$\arcsin 0=0,\qquad \arccos(3\cdot 0-1)=\arccos(-1)=\pi,$$

значит, это значение не подходит.

При $$x=\frac35$$:

$$\arcsin\frac35=\arccos\left(3\cdot\frac35-1\right)=\arccos\frac45,$$

и равенство выполняется.

Ответ

$$\frac35$$