Упр.25.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 25.21. Решите уравнение log_4 sin(2x)=log_2 v(-sin(x)).

Область определения уравнения задаётся условиями:

$$\sin 2x>0,\qquad -\sin x>0.$$

Так как $$\log_4 \sin 2x=\log_2 \sqrt{-\sin x},$$ то перейдём к одному основанию:

$$\log_4 \sin 2x=\log_4(-\sin x).$$

Тогда

$$\sin 2x=-\sin x.$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$2\sin x\cos x+\sin x=0,$$

$$\sin x(2\cos x+1)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$

1) Если $$\sin x=0,$$ то $$x=\pi n,$$ но тогда $$\sin 2x=0,$$ что не подходит области определения.

2) Если $$\cos x=-\frac12,$$ то

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Проверим область определения. При $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ имеем $$\sin x>0,$$ значит $$-\sin x<0,$$ не подходит. При

$$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

получаем $$\sin x<0$$ и $$\sin 2x>0,$$ то есть это решение подходит.

Ответ

$$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$