Упр.25.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 25.20. Решите уравнение log_9 sin(2x)=log_3 v(sin(x)).

Область определения:

$$\sin x>0,$$
так как под логарифмом должны стоять положительные выражения.

Преобразуем уравнение:

$$\log_9 \sin 2x=\log_3 \sqrt{\sin x}.$$

Так как $$9=3^2,$$ то

$$\log_9 \sin 2x=\frac{1}{2}\log_3 \sin 2x,$$
а
$$\log_3 \sqrt{\sin x}=\frac{1}{2}\log_3 \sin x.$$

Тогда

$$\frac{1}{2}\log_3 \sin 2x=\frac{1}{2}\log_3 \sin x,$$
$$\log_3 \sin 2x=\log_3 \sin x,$$
$$\sin 2x=\sin x.$$

Решим тригонометрическое уравнение:

$$2\sin x\cos x-\sin x=0,$$
$$\sin x(2\cos x-1)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$

С учётом области определения $$\sin x>0$$ корни $$\sin x=0$$ не подходят.

Остаётся:

$$\cos x=\frac12,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Из условия $$\sin x>0$$ подходит только

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$