Упр.25.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) x^2=2x и x=2; 5) cos(x)=0 и sin(x)=1;
2) (x+3)/(x+3)=1 и (x^2+3)/(x^2+3)=1; 6) 2tg(x)/(1+tg^2(x))=0 и sin(2x)=0;
3) (x+4)/(x+4)=0 и (x^2-16)/(x^2-16)=0; 7) v(x^2 (x-1))=0 и |x|v(x-1)=0;
4) cos(x)=-1,2 и e^x=0; 8) log_x^2 x^2=1 и log_x x=1.

Подробный ответ

$$x^2=2x$$
$$x^2-2x=0$$
$$x(x-2)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=2$$
Уравнение $$x=2$$ имеет только одно решение.
Не равносильны.
$$\frac{x+3}{x+3}=1$$
ОДЗ: $$x\ne -3$$.
При всех допустимых $$x$$ это уравнение верно.
$$\frac{x^2+3}{x^2+3}=1$$
ОДЗ: $$x^2+3\ne 0$$, что выполняется при всех $$x\in \mathbb{R}$$.
При всех действительных $$x$$ это уравнение верно.
Множества решений совпадают.
Равносильны.
$$\frac{x+4}{x+4}=0$$
Такое уравнение решений не имеет, так как при допустимых $$x$$ левая часть равна $$1$$.
$$\frac{x^2-16}{x^2-16}=0$$
Такое уравнение также решений не имеет, так как при допустимых $$x$$ левая часть равна $$1$$.
Оба уравнения не имеют решений.
Равносильны.
$$\cos x=-1{,}2$$
Так как $$-1\le \cos x \le 1$$, решений нет.
$$e^x=0$$
Показательная функция $$e^x$$ всегда положительна, поэтому решений нет.
Оба уравнения не имеют решений.
Равносильны.
$$\cos x=0$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
$$\sin x=1$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
Множества решений различны.
Не равносильны.
$$\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x}=0$$
Это возможно, когда $$\tg x=0$$, то есть
$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
$$\sin 2x=0$$
$$2x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}$$
Второе уравнение имеет больше решений.
Не равносильны.
$$\sqrt{x^2(x-1)}=0$$
Тогда
$$x^2(x-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$
$$|x|\sqrt{x-1}=0$$
Здесь нужно, чтобы $$x-1\ge 0$$, то есть $$x\ge 1$$.
Тогда
$$|x|=0 \text{ или } \sqrt{x-1}=0$$
Но при $$x\ge 1$$ равенство $$|x|=0$$ невозможно, а из $$\sqrt{x-1}=0$$ получаем $$x=1$$.
Множества решений различны.
Не равносильны.
$$\log_{x^2} x^2=1$$
ОДЗ: $$x^2>0,\; x^2\ne 1$$, то есть $$x\ne 0,\; x\ne \pm 1$$.
При допустимых $$x$$ это уравнение верно.
$$\log_x x=1$$
ОДЗ: $$x>0,\; x\ne 1$$.
При допустимых $$x$$ это уравнение верно.
Первое уравнение допускает также отрицательные значения $$x$$, второе — нет.
Не равносильны.