Упр.25.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 25.19. Решите уравнение log_((-x^2-6x)/10) (sin(3x)+sin(x))=log_((-x^2-6x)/10) sin(2x).

Пусть основание логарифма равно $$\frac{-x^2-6x}{10}.$$ Тогда уравнение можно записать так:

$$\log_{\frac{-x^2-6x}{10}}(\sin 3x+\sin x)=\log_{\frac{-x^2-6x}{10}}(\sin 2x).$$

При одинаковом основании логарифмов и при выполнении условий существования логарифмов получаем:

$$\sin 3x+\sin x=\sin 2x.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x.$$

Тогда

$$2\sin 2x\cos x-\sin 2x=0,$$

$$\sin 2x(2\cos x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0.$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Теперь учтём область определения логарифма.

Основание должно быть положительным и не равным $$1$$:

$$\frac{-x^2-6x}{10}>0,\qquad \frac{-x^2-6x}{10}\ne 1.$$

То есть

$$x^2+6x<0,$$

$$x^2+6x+10\ne 0.$$

Из неравенства $$x^2+6x<0$$ получаем:

$$-6<x<0.$$

Проверим найденные семейства решений на этом промежутке.

Из $$x=\frac{\pi n}{2}$$ подходит только $$x=-\frac{\pi}{2}$$, но при нём

$$\sin 3x+\sin x=\sin 2x=0,$$

а логарифм от нуля не определён, значит это значение не подходит.

Из $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$ на промежуток $$(-6,0)$$ попадает только

$$x=-\frac{5\pi}{3}.$$

Проверка:

$$-6<-\frac{5\pi}{3}<0,$$

основание логарифма положительно и не равно $$1$$, аргументы логарифмов равны и положительны. Значит, это решение подходит.

Ответ

$$x=-\frac{5\pi}{3}.$$