Упр.25.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 25.18. Решите уравнение log_9 sin(2x)=log_3 v(sin(x)/5).

Преобразуем правую часть:

$$\log_9 \sin 2x=\log_3 \sqrt{\frac{\sin x}{5}}=\log_9 \frac{\sin x}{5}.$$

Тогда из равенства логарифмов получаем:

$$\sin 2x=\frac{\sin x}{5}.$$

Умножим на $5$ и раскроем синус двойного аргумента:

$$5\sin 2x=\sin x,$$

$$10\sin x\cos x-\sin x=0,$$

$$\sin x(10\cos x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac{1}{10}.$$

Но нужно учесть область определения исходного уравнения:

$$\sin x>0.$$

Поэтому решения вида $$\sin x=0$$ не подходят.

Остаётся:

$$\cos x=\frac{1}{10}.$$

С учётом условия $$\sin x>0$$ получаем:

$$x=\arccos \frac{1}{10}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=\arccos \frac{1}{10}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$