Упр.25.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 25.17. Решите уравнение tg(2x)-sin(2x)=(-9/2)ctg(x).

Подробный ответ

$$\tg 2x-\sin 2x=-\frac92\ctg x.$$

Выразим тригонометрические функции через $$\sin x$$ и $$\cos x$$:

$$\frac{2\sin 2x}{\cos 2x}-2\sin 2x=-\frac{9\cos x}{\sin x}.$$

Умножим обе части на $$\sin x\cos 2x$$:

$$2\sin 2x\sin x-2\sin 2x\cos 2x\sin x=-9\cos x\cos 2x.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$, получаем:

$$4\sin^2 x\cos x-4\sin^2 x\cos x\cos 2x+9\cos x\cos 2x=0.$$

Вынесем $$\cos x$$ за скобки:

$$\cos x\bigl(4\sin^2 x-4\sin^2 x\cos 2x+9\cos 2x\bigr)=0.$$

Подставим $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$4\sin^2 x-4\sin^2 x(1-2\sin^2 x)+9(1-2\sin^2 x)=0.$$

Упростим:

$$4\sin^2 x-4\sin^2 x+8\sin^4 x+9-18\sin^2 x=0,$$

$$8\sin^4 x-18\sin^2 x+9=0.$$

Обозначим $$t=\sin^2 x$$. Тогда:

$$8t^2-18t+9=0.$$

Найдём корни:

$$D=18^2-4\cdot 8\cdot 9=324-288=36,$$

$$t_{1,2}=\frac{18\pm 6}{2\cdot 8}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac34,\qquad t_2=\frac32.$$

Так как $$\sin^2 x\le 1$$, значение $$t_2=\frac32$$ не подходит. Значит,

$$\sin^2 x=\frac34,$$

откуда

$$\sin x=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$

Кроме того, из множителя $$\cos x=0$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Из $$\sin x=\pm \frac{\sqrt3}{2}$$ имеем:

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Но при $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n$$ левая и правая части исходного уравнения не совпадают, поэтому остаются только решения из множителя $$\cos x=0$$ и из $$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}$$.