Упр.25.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg(5п/4+x)=2cos(2п/3)-5ctg(x); 2) tg(2x)+sin(2x)=(-3/2)ctg(x).

1. $$\tg\left(\frac{5\pi}{4}+x\right)=2\cos\frac{2\pi}{3}-5\ctg x.$$
   Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ получаем
   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=-1-5\ctg x.$$

   Используем формулу суммы:
   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\frac{1+\tg x}{1-\tg x}.$$
   Обозначим $$t=\tg x,$$ тогда $$\ctg x=\frac1t.$$ Имеем
   $$\frac{1+t}{1-t}=-1-\frac{5}{t}.$$
   Умножим на $$t(1-t)$$:
   $$t(1+t)=-(t+5)(1-t).$$
   После раскрытия скобок:
   $$t+t^2=-t+ t^2-5+5t,$$
   $$5t=3,$$
   $$t=\frac35.$$

   Тогда
   $$\tg x=\frac35,$$
   откуда
   $$x=\arctg\frac35+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Проверим возможный корень $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
   Тогда левая часть:
   $$\tg\left(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)=\tg\frac{7\pi}{4}=-1,$$
   правая часть:
   $$2\cos\frac{2\pi}{3}-5\ctg\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1-0=-1.$$
   Значит, $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ тоже подходит.

2. $$\tg 2x+\sin 2x=-\frac32\ctg x.$$
   Запишем через $$\sin x$$ и $$\cos x$$:
   $$\frac{2\sin 2x}{\cos 2x}+2\sin x\cos x=-\frac32\frac{\cos x}{\sin x}.$$
   Умножим на $$2\sin x\cos 2x$$:
   $$4\sin^2 x\cos x+4\sin^2 x\cos x\cos 2x+3\cos x\cos 2x=0.$$
   Вынесем $$\cos x$$:
   $$\cos x\left(4\sin^2 x+4\sin^2 x\cos 2x+3\cos 2x\right)=0.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) $$\cos x=0,$$ тогда
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\cos x\ne 0.$$ Тогда
   $$4\sin^2 x+4\sin^2 x(1-2\sin^2 x)+3(1-2\sin^2 x)=0.$$
   Обозначим $$u=\sin^2 x.$$ Получаем
   $$8u^2-2u-3=0.$$
   Тогда
   $$D=(-2)^2-4\cdot 8\cdot(-3)=100,$$
   $$u_{1,2}=\frac{2\pm 10}{16}.$$
   Отсюда
   $$u_1=-\frac12 \quad \text{(не подходит)},\qquad u_2=\frac34.$$
   Значит,
   $$\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2},$$
   и
   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\arctg\frac35+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{\pi}{3}+\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$