Упр.25.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (sin^2(2x)-sin^2(x))/(cos(3x)-1)=0; 2) (cos(x)+cos(3x)+2)/(sin(x/2)-1)=0.

Подробный ответ

$$\frac{\sin^2 2x-\sin^2 x}{\cos 3x-1}=0$$
Тогда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$\sin^2 2x-\sin^2 x=0,$$
$$\cos 3x-1\ne 0.$$
Преобразуем числитель:
$$
\sin^2 2x-\sin^2 x=4\sin^2 x\cos^2 x-\sin^2 x
=\sin^2 x\,(4\cos^2 x-1).
$$
Отсюда
$$
\sin^2 x=0 \quad \text{или} \quad 4\cos^2 x-1=0.
$$
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$ где $$n\in\mathbb Z.$$
Проверим ОДЗ:
$$
\cos 3x-1=\cos 3\pi n-1=1-1=0,
$$
значит, эти значения не подходят.
2) $$4\cos^2 x-1=0 \Rightarrow \cos x=\pm \frac12.$$
Тогда
$$
x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n.
$$
Но нужно исключить точки, где $$\cos 3x=1.$$
Для $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$ и $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ получаем $$\cos 3x=-1,$$ поэтому знаменатель не обращается в нуль.
Значит,
$$
x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.
$$
$$\frac{\cos x+\cos 3x+2}{\sin \frac{x}{2}-1}=0$$
Тогда
$$
\cos x+\cos 3x+2=0,
$$
$$\sin \frac{x}{2}-1\ne 0.
$$
Так как $$\cos x\ge -1$$ и $$\cos 3x\ge -1,$$ то
$$
\cos x+\cos 3x+2\ge 0.
$$
Равенство нулю возможно только при
$$
\cos x=-1,\qquad \cos 3x=-1.
$$
Тогда
$$
x=\pi+2\pi n,\qquad 3x=\pi+2\pi m,\quad n,m\in\mathbb Z.
$$
Из первого равенства:
$$
x=\pi+2\pi n.
$$
Проверим это в условии:
$$
\sin \frac{x}{2}-1=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)-1.
$$
При чётных $$n$$ получаем $$\sin \frac{x}{2}=1,$$ то есть знаменатель равен нулю, поэтому такие значения не подходят.
При нечётных $$n$$ знаменатель не равен нулю.
Следовательно,
$$
x=3\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.
$$