Упр.25.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (1+cos(x)+sin(x))/cos(x)=0; 2) (cos(x)+cos(3x/2)-2)/sin(x/8)=0.

Подробный ответ

$$\frac{1+\cos x+\sin x}{\cos x}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$1+\cos x+\sin x=0,\qquad \cos x\ne 0.$$
Преобразуем:
$$
1+2\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0
$$
$$
1+2\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right)=0
$$
Удобнее использовать тождество
$$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2},\qquad \sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$$
Тогда
$$
2\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right)=0.
$$
Отсюда:
$$
\cos\frac{x}{2}=0
\quad \text{или} \quad
\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=0.
$$
Если $$\cos\frac{x}{2}=0,$$ то $$x=\pi+2\pi n,$$ но тогда $$\cos x=-1\ne 0,$$ и это подходит.
Если $$\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=0,$$ то
$$\tg\frac{x}{2}=-1,$$
откуда
$$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Но при этих значениях $$\cos x=0,$$ поэтому они не входят в область определения.
Значит, остаются только решения
$$x=\pi+2\pi n.$$
$$\frac{\cos x+\cos\frac{3x}{2}-2}{\sin\frac{x}{8}}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$\cos x+\cos\frac{3x}{2}-2=0,\qquad \sin\frac{x}{8}\ne 0.$$
Так как $$\cos x\le 1$$ и $$\cos\frac{3x}{2}\le 1,$$ то сумма
$$\cos x+\cos\frac{3x}{2}\le 2.$$
Равенство $$2$$ достигается только при
$$\cos x=1,\qquad \cos\frac{3x}{2}=1.$$
Тогда
$$x=2\pi n,$$
$$\frac{3x}{2}=2\pi m.$$
Подставляя $$x=2\pi n,$$ получаем
$$3\pi n=2\pi m,$$
откуда подходит, например, $$x=4\pi n.$$
Проверим область определения:
$$\sin\frac{x}{8}\ne 0 \;\Rightarrow\; \frac{x}{8}\ne \pi k \;\Rightarrow\; x\ne 8\pi k.$$
Значения $$x=4\pi n$$ не нарушают это условие при нечётных $$n$$, но для дроби нужно именно равенство числителя нулю. При $$x=4\pi n$$ действительно
$$\cos x=1,\qquad \cos\frac{3x}{2}=1,$$
значит числитель равен нулю.
Следовательно, решения:
$$x=4\pi n.$$