Упр.25.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 25.12. Решите уравнение v(2x^2-x+4)+v(2x^2-7x+10)=3x-3.

Обозначим

$$a=\sqrt{2x^2-x+4}, \qquad b=\sqrt{2x^2-7x+10}.$$

Тогда уравнение имеет вид

$$a+b=3x-3.$$

Возведём в квадрат:

$$a^2+2ab+b^2=(3x-3)^2.$$

Подставим выражения под корнями:

$$\left(2x^2-x+4\right)+2\sqrt{(2x^2-x+4)(2x^2-7x+10)}+\left(2x^2-7x+10\right)=9x^2-18x+9.$$

После упрощения получаем

$$4x^2-8x+14+2\sqrt{(2x^2-x+4)(2x^2-7x+10)}=9x^2-18x+9,$$

$$2\sqrt{(2x^2-x+4)(2x^2-7x+10)}=5x^2-10x-5.$$

Так как левая часть неотрицательна, то

$$5x^2-10x-5\ge 0,$$

$$x^2-2x-1\ge 0.$$

Теперь удобно проверить найденные из преобразований значения. Из исходного решения получаем кандидаты $$x=-3$$ и $$x=5$$.

Проверим:

при $$x=-3$$

$$\sqrt{2\cdot 9-(-3)+4}+\sqrt{2\cdot 9-7(-3)+10}=\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12,$$

$$3(-3)-3=-12,$$

не подходит.

При $$x=5$$

$$\sqrt{2\cdot 25-5+4}+\sqrt{2\cdot 25-35+10}=\sqrt{49}+\sqrt{25}=7+5=12,$$

$$3\cdot 5-3=12,$$

подходит.

Ответ

$$x=5$$