Упр.25.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 25.11. Решите уравнение v(25-4x^2)(sin(пx)+3cos(пx/2))=0.

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{25-4x^2}\left(\sin \pi x+3\cos \frac{\pi x}{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при этом нужно учесть область определения корня:

$$25-4x^2\ge 0,$$

$$4x^2\le 25,$$

$$-2{,}5\le x\le 2{,}5.$$

1) Первый множитель:

$$\sqrt{25-4x^2}=0,$$

$$25-4x^2=0,$$

$$4x^2=25,$$

$$x=\pm 2{,}5.$$

2) Второй множитель:

$$\sin \pi x+3\cos \frac{\pi x}{2}=0.$$

Преобразуем:

$$2\sin \frac{\pi x}{2}\cos \frac{\pi x}{2}+3\cos \frac{\pi x}{2}=0,$$

$$\cos \frac{\pi x}{2}\left(2\sin \frac{\pi x}{2}+3\right)=0.$$

Отсюда

$$\cos \frac{\pi x}{2}=0$$

или

$$2\sin \frac{\pi x}{2}+3=0.$$

Во втором случае

$$\sin \frac{\pi x}{2}=-\frac{3}{2},$$

что невозможно, так как $$\left|\sin \frac{\pi x}{2}\right|\le 1.$$

Значит,

$$\cos \frac{\pi x}{2}=0,$$

$$\frac{\pi x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=1+2n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

С учётом области определения $$-2{,}5\le x\le 2{,}5$$ получаем:

$$x=-1,\;1.$$

Объединяем все найденные корни:

$$x=-2{,}5,\;-1,\;1,\;2{,}5.$$

Ответ

$$-2{,}5;\,-1;\,1;\,2{,}5.$$