Упр.25.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 25.10. Решите уравнение v(16-9x^2)(3sin(2пx)+8sin(пx))=0.

Рассмотрим произведение:

$$\sqrt{16-9x^2}\,(3\sin 2\pi x+8\sin \pi x)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) Найдём область определения корня:

$$16-9x^2\ge 0,$$

$$9x^2\le 16,$$

$$-\frac{4}{3}\le x\le \frac{4}{3}.$$

2) Решим уравнение

$$\sqrt{16-9x^2}=0.$$

Тогда

$$16-9x^2=0,$$

$$x=\pm \frac{4}{3}.$$

3) Решим уравнение

$$3\sin 2\pi x+8\sin \pi x=0.$$

Используем формулу $$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha$$:

$$3\cdot 2\sin \pi x\cos \pi x+8\sin \pi x=0,$$

$$\sin \pi x\,(6\cos \pi x+8)=0.$$

Отсюда:

$$\sin \pi x=0 \quad \text{или} \quad 6\cos \pi x+8=0.$$

Во втором случае

$$\cos \pi x=-\frac{4}{3},$$

что невозможно, так как $$|\cos \pi x|\le 1.$$

Значит, остаётся только

$$\sin \pi x=0,$$

$$\pi x=\pi n,$$

$$x=n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

С учётом области определения $$-\frac{4}{3}\le x\le \frac{4}{3}$$ получаем:

$$x=-1,\;0,\;1.$$

Объединяя все найденные значения, получаем:

$$x=-\frac{4}{3},\,-1,\,0,\,1,\,\frac{4}{3}.$$

Ответ

$$-\frac{4}{3},\,-1,\,0,\,1,\,\frac{4}{3}$$