Упр.25.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x-5=0 и x(x-5)=0;
2) x+2=2+x и (x^2+2)/(x^2+2)=1;
3) (x-3)/(x-3)=1 и x=x;
4) (x^2-4)/(x+2)=0 и x-2=0;
5) (x^2-25)/(x+2)=0 и x^2-25=0;
6) (v(x+2))^2=2x+5 и x+2=2x+5;
7) v((x-1)(x-3))=0 и v(x-1)·v(x-3)=0;
8) sin(x)=2 и 2^x=-1;
9) sin(x)=0 и cos(x)=1;
10) cos(x)=0 и sin^2(x)=1;
11) (1-tg^2(x))/(1+tg^2(x))=-1 и cos(2x)=-1;
12) log_3 x^2=2 и log_3 x=1;
13) log_5 (x^2-1)=log_5 (x-1) и log_5 (x+1)=0;
14) log_x (x+1)/log_x 2=1 и log_2 (x+1)=1.

1. $$x-5=0 \quad \text{и} \quad x(x-5)=0$$

   Первое уравнение: $$x=5$$.

   Второе уравнение: $$x=0$$ или $$x=5$$.

   Множества решений различны, значит, уравнения неравносильны.

   Ответ: нет.

2. $$x+2=2+x \quad \text{и} \quad \frac{x^2+2}{x^2+2}=1$$

   Первое уравнение верно при любом $$x \in \mathbb{R}$$.

   Во втором уравнении $$x^2+2>0$$ при любом $$x \in \mathbb{R}$$, значит, дробь определена и равна 1 при всех $$x \in \mathbb{R}$$.

   Множества решений совпадают.

   Ответ: да.

3. $$\frac{x-3}{x-3}=1 \quad \text{и} \quad x=x$$

   Первое уравнение имеет ОДЗ: $$x \ne 3$$, поэтому его решения — все $$x \in \mathbb{R}$$, кроме $$x=3$$.

   Второе уравнение верно при любом $$x \in \mathbb{R}$$.

   Множества решений различны.

   Ответ: нет.

4. $$\frac{x^2-4}{x+2}=0 \quad \text{и} \quad x-2=0$$

   Первое уравнение:

   $$\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=0,\quad x \ne -2$$

   Отсюда $$x-2=0$$, то есть $$x=2$$.

   Второе уравнение: $$x=2$$.

   Множества решений совпадают.

   Ответ: да.

5. $$\frac{x^2-25}{x+2}=0 \quad \text{и} \quad x^2-25=0$$

   Первое уравнение:

   $$\frac{(x-5)(x+5)}{x+2}=0,\quad x \ne -2$$

   Отсюда $$x=5$$ или $$x=-5$$.

   Второе уравнение:

   $$x^2-25=0 \Rightarrow x=5 \text{ или } x=-5$$

   Множества решений совпадают.

   Ответ: да.

6. $$\left(\sqrt{x+2}\right)^2=2x+5 \quad \text{и} \quad x+2=2x+5$$

   Первое уравнение требует $$x+2 \ge 0$$, то есть $$x \ge -2$$. Тогда

   $$x+2=2x+5 \Rightarrow x=-3$$, но $$x=-3$$ не удовлетворяет ОДЗ.

   Первое уравнение не имеет решений.

   Второе уравнение даёт $$x=-3$$.

   Множества решений различны.

   Ответ: нет.

7. $$\sqrt{(x-1)(x-3)}=0 \quad \text{и} \quad \sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x-3}=0$$

   Первое уравнение:

   $$ (x-1)(x-3)=0 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=3 $$

   Второе уравнение определено при $$x \ge 3$$, и тогда

   $$\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x-3}=0 \Rightarrow x=3$$

   Множества решений различны.

   Ответ: нет.

8. $$\sin x=2 \quad \text{и} \quad 2^x=-1$$

   Уравнение $$\sin x=2$$ не имеет решений, так как $$-1 \le \sin x \le 1$$.

   Уравнение $$2^x=-1$$ также не имеет решений, так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$.

   Оба уравнения не имеют решений, значит, они равносильны.

   Ответ: да.

9. $$\sin x=0 \quad \text{и} \quad \cos x=1$$

   Первое уравнение: $$x=\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$.

   Второе уравнение: $$x=2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$.

   Множества решений различны.

   Ответ: нет.

10. $$\cos x=0 \quad \text{и} \quad \sin^2 x=1$$

    Первое уравнение: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$.

    Второе уравнение: $$\sin x=\pm 1$$, значит, $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$.

    Множества решений совпадают.

    Ответ: да.

11. $$\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x}=-1 \quad \text{и} \quad \cos 2x=-1$$

    Левая часть определена при $$\cos x \ne 0$$. Тогда

    $$\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x}=\cos 2x$$

    Следовательно, первое уравнение равносильно $$\cos 2x=-1$$ при $$\cos x \ne 0$$.

    Но уравнение $$\cos 2x=-1$$ имеет и такие решения, при которых $$\cos x=0$$, например $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$.

    Множества решений различны.

    Ответ: нет.

12. $$\log_3 x^2=2 \quad \text{и} \quad \log_3 x=1$$

    Первое уравнение:

    $$\log_3 x^2=2 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$

    Второе уравнение:

    $$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3$$

    Множества решений различны.

    Ответ: нет.

13. $$\log_5(x^2-1)=\log_5(x-1) \quad \text{и} \quad \log_5(x+1)=0$$

    Первое уравнение требует:

    $$x^2-1>0,\quad x-1>0$$

    То есть $$x>1$$. Тогда

    $$x^2-1=x-1 \Rightarrow (x-1)(x+1)=x-1 \Rightarrow x+1=1 \Rightarrow x=0,$$

    но это не удовлетворяет ОДЗ. Значит, решений нет.

    Второе уравнение:

    $$\log_5(x+1)=0 \Rightarrow x+1=1 \Rightarrow x=0$$

    Множества решений различны.

    Ответ: нет.

14. $$\frac{\log_x(x+1)}{\log_x 2}=1 \quad \text{и} \quad \log_2(x+1)=1$$

    Первое уравнение определено при $$x>0,\; x\ne 1,\; x+1>0$$. Тогда

    $$\frac{\log_x(x+1)}{\log_x 2}=\log_2(x+1)$$

    Следовательно, первое уравнение равносильно

    $$\log_2(x+1)=1$$

    при тех же ограничениях. Но из $$\log_2(x+1)=1$$ получаем $$x=1$$, а это не входит в ОДЗ первого уравнения.

    Первое уравнение не имеет решений, второе даёт $$x=1$$.

    Ответ: нет.