Упр.24.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 24.23. Случайная величина х принимает только положительные значения. Докажите, что M(x)·M(1/x) > 1.

Так как случайная величина $$x$$ принимает только положительные значения, то $$\frac{1}{x}>0$$.

Рассмотрим функцию

$$f(t)=M(x)t^2-2t+M\!\left(\frac{1}{x}\right).$$

Поскольку $$x>0$$, имеем

$$f(x)=M(x)\cdot x^2-2x+M\!\left(\frac{1}{x}\right)\ge 0.$$

Перепишем это неравенство в виде

$$M(x)\left(x-\frac{1}{M(x)}\right)^2+\left(M\!\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{M(x)}\right)\ge 0,$$

но удобнее сразу применить неравенство для квадратичного выражения по переменной $$t$$:

$$M(x)t^2-2t+M\!\left(\frac{1}{x}\right)\ge 0.$$

Возьмём $$t=M\!\left(\frac{1}{x}\right)$$. Тогда

$$M(x)\left(M\!\left(\frac{1}{x}\right)\right)^2-2M\!\left(\frac{1}{x}\right)+M\!\left(\frac{1}{x}\right)\ge 0,$$

то есть

$$M\!\left(\frac{1}{x}\right)\left(M(x)\cdot M\!\left(\frac{1}{x}\right)-1\right)\ge 0.$$

Так как $$M\!\left(\frac{1}{x}\right)>0$$, получаем

$$M(x)\cdot M\!\left(\frac{1}{x}\right)-1\ge 0,$$

следовательно,

$$M(x)\cdot M\!\left(\frac{1}{x}\right)\ge 1.$$

В исходном решении требуется строгое неравенство, поэтому при неравенстве в условии должно быть указано соответствующее дополнительное условие; из приведённых преобразований следует именно нестрогое неравенство.

Ответ

$$M(x)\cdot M\!\left(\frac{1}{x}\right)\ge 1.$$