Упр.24.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 24.20. Математическое ожидание случайной величины х равно нулю. Докажите, что M(|x|) < D(x)+1/4.

Так как $$M(x)=0,$$ то дисперсия случайной величины $$x$$ равна

$$D(x)=M(x^2)-(M(x))^2=M(x^2).$$

Докажем неравенство

$$M(|x|)\le D(x)+\frac14.$$

Достаточно показать, что для любого значения $$x$$ верно

$$|x|\le x^2+\frac14.$$

Действительно,

$$x^2-|x|+\frac14=\left(|x|-\frac12\right)^2\ge 0,$$

откуда

$$|x|\le x^2+\frac14.$$

Тогда, переходя к математическому ожиданию, получаем

$$M(|x|)\le M\left(x^2+\frac14\right)=M(x^2)+\frac14=D(x)+\frac14.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$M(|x|)\le D(x)+\frac14.$$