Упр.24.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 24.19. Математическое ожидание случайной величины х равно нулю. Докажите, что M(|x|) < (D(x)+1)/2.

Так как $$M(x)=0,$$ то

$$D(x)=M(x^2)-(M(x))^2=M(x^2).$$

Остаётся доказать, что

$$M(|x|)\le \frac{D(x)+1}{2}.$$

Рассмотрим неотрицательный квадрат:

$$\left(|x|-1\right)^2\ge 0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2-2|x|+1\ge 0.$$

Возьмём математическое ожидание от обеих частей:

$$M(x^2-2|x|+1)\ge 0.$$

Тогда

$$M(x^2)-2M(|x|)+1\ge 0.$$

С учётом того, что $$M(x^2)=D(x),$$ получаем

$$D(x)-2M(|x|)+1\ge 0,$$

откуда

$$2M(|x|)\le D(x)+1,$$

то есть

$$M(|x|)\le \frac{D(x)+1}{2}.$$

Ответ

$$M(|x|)\le \frac{D(x)+1}{2}.$$