Упр.24.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 24.12. О случайных величинах х и у известно, что M(xy)=M(x)M(y). Докажите, что D(x+y)=D(x)+D(y).

Подробный ответ

Используем формулу дисперсии:

$$D(x+y)=M\bigl((x+y)^2\bigr)-\bigl(M(x+y)\bigr)^2.$$

Раскроем скобки:

$$
D(x+y)=M(x^2+2xy+y^2)-\bigl(M(x)+M(y)\bigr)^2.
$$

По свойству математического ожидания и по условию $$M(xy)=M(x)M(y)$$ получаем:

$$
D(x+y)=M(x^2)+2M(xy)+M(y^2)-\bigl(M(x)+M(y)\bigr)^2
$$

$$
= M(x^2)+2M(x)M(y)+M(y^2)-\bigl(M(x)^2+2M(x)M(y)+M(y)^2\bigr).
$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$
D(x+y)=M(x^2)-M(x)^2+M(y^2)-M(y)^2.
$$

По определению дисперсии:

$$D(x)=M(x^2)-M(x)^2,\qquad D(y)=M(y^2)-M(y)^2.$$