Упр.23.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 23.9. Пусть случайная величина х имеет распределение Бернулли с параметром р. Докажите, что M(x)=p, D(x)=p(1-p).

Для распределения Бернулли случайная величина $$x$$ принимает только два значения:

$$P(0)=1-p,\qquad P(1)=p.$$

Найдём математическое ожидание:

$$M(x)=0\cdot(1-p)+1\cdot p=p.$$

Теперь вычислим дисперсию:

$$D(x)=(0-p)^2\cdot(1-p)+(1-p)^2\cdot p.$$

Упростим выражение:

$$D(x)=p^2(1-p)+(1-p)^2p$$

$$D(x)=p(1-p)\bigl(p+1-p\bigr)=p(1-p).$$

Итак, для случайной величины с распределением Бернулли получаем:

$$M(x)=p,\qquad D(x)=p(1-p).$$

Ответ

$$M(x)=p,\qquad D(x)=p(1-p).$$