Упр.23.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) Составьте таблицу распределения вероятностей количества забитых мячей в серии из пяти пенальти.
2) С точностью до 1 % вычислите вероятности из составленной таблицы распределения, если р=0,8.
3) Основываясь на полученных во втором задании приближённых значениях вероятностей, оцените математическое ожидание и стандартное отклонение количества забитых мячей в серии из пяти пенальти.
Пусть $$X$$ — число забитых мячей в серии из пяти пенальти. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=5$$ и $$p$$, где $$q=1-p$$.
Вероятность того, что будет забито ровно $$k$$ мячей, равна
$$P(X=k)=C_5^k p^k q^{5-k}, \quad k=0,1,2,3,4,5.$$
Тогда таблица распределения вероятностей имеет вид:
| $$X$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ | $$5$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $$P(X)$$ | $$q^5$$ | $$5pq^4$$ | $$10p^2q^3$$ | $$10p^3q^2$$ | $$5p^4q$$ | $$p^5$$ |
При $$p=0{,}8$$ имеем $$q=0{,}2$$. Найдём вероятности с точностью до $$1\%$$:
$$P(0)=0{,}2^5=0{,}00032\approx 0\%,$$
$$P(1)=5\cdot 0{,}8\cdot 0{,}2^4=0{,}0064\approx 1\%,$$
$$P(2)=10\cdot 0{,}8^2\cdot 0{,}2^3=0{,}0512\approx 5\%,$$
$$P(3)=10\cdot 0{,}8^3\cdot 0{,}2^2=0{,}2048\approx 20\%,$$
$$P(4)=5\cdot 0{,}8^4\cdot 0{,}2=0{,}4096\approx 41\%,$$
$$P(5)=0{,}8^5=0{,}32768\approx 33\%.$$
Оценим математическое ожидание по приближённым значениям:
$$M(X)\approx 0\cdot 0+1\cdot 0{,}01+2\cdot 0{,}05+3\cdot 0{,}20+4\cdot 0{,}41+5\cdot 0{,}33,$$
$$M(X)\approx 0{,}01+0{,}10+0{,}60+1{,}64+1{,}65\approx 4.$$
Найдём дисперсию:
$$D(X)\approx 0^2\cdot 0+1^2\cdot 0{,}01+2^2\cdot 0{,}05+3^2\cdot 0{,}20+4^2\cdot 0{,}41+5^2\cdot 0{,}33,$$
$$D(X)\approx 0{,}01+0{,}20+1{,}80+6{,}56+8{,}25\approx 16{,}82.$$
Тогда стандартное отклонение:
$$\sigma(X)\approx \sqrt{16{,}82}\approx 4{,}1.$$
Ответ
$$P(0)=q^5,\; P(1)=5pq^4,\; P(2)=10p^2q^3,\; P(3)=10p^3q^2,\; P(4)=5p^4q,\; P(5)=p^5.$$
При $$p=0{,}8$$: $$0\%,\; 1\%,\; 5\%,\; 20\%,\; 41\%,\; 33\%.$$
$$M(X)\approx 4,\quad \sigma(X)\approx 4{,}1.$$
