Упр.23.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 23.20. Чему равно математическое ожидание и дисперсия количества выпавших шестёрок при подбрасывании трёх игральных кубиков?

Пусть $$X$$ — число выпавших шестёрок при подбрасывании трёх игральных кубиков. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=3$$ и $$p=\frac16$$, где $$q=1-p=\frac56$$.

Найдём вероятности возможных значений $$X$$:

$$P(X=0)=C_3^0\left(\frac16\right)^0\left(\frac56\right)^3=\frac{125}{216}$$

$$P(X=1)=C_3^1\left(\frac16\right)^1\left(\frac56\right)^2=\frac{75}{216}$$

$$P(X=2)=C_3^2\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^1=\frac{15}{216}$$

$$P(X=3)=C_3^3\left(\frac16\right)^3\left(\frac56\right)^0=\frac{1}{216}$$

Математическое ожидание:

$$M(X)=0\cdot\frac{125}{216}+1\cdot\frac{75}{216}+2\cdot\frac{15}{216}+3\cdot\frac{1}{216}$$

$$M(X)=\frac{75+30+3}{216}=\frac{108}{216}=\frac12$$

Дисперсия:

$$D(X)=\left(0-\frac12\right)^2\cdot\frac{125}{216}+\left(1-\frac12\right)^2\cdot\frac{75}{216}+\left(2-\frac12\right)^2\cdot\frac{15}{216}+\left(3-\frac12\right)^2\cdot\frac{1}{216}$$

$$D(X)=\frac14\cdot\frac{125}{216}+\frac14\cdot\frac{75}{216}+\frac94\cdot\frac{15}{216}+\frac{25}{4}\cdot\frac{1}{216}$$

$$D(X)=\frac{31{,}25+18{,}75+33{,}75+6{,}25}{216}=\frac{90}{216}=\frac{5}{12}$$

Ответ

$$M(X)=\frac12,\quad D(X)=\frac{5}{12}$$