Упр.22.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 22.23. Гроссмейстер проводит сеанс одновременной игры в шахматы на 40 досках. Вероятность того, что гроссмейстер выиграет каждую отдельную партию, равна 97 %. Какова вероятность того, что в сеансе гроссмейстер выиграет не менее 38 партий?

Подробный ответ

Пусть вероятность выигрыша одной партии равна $$p=0{,}97,$$ тогда вероятность проигрыша одной партии

$$q=1-p=0{,}03.$$

Нужно найти вероятность того, что из 40 партий гроссмейстер выиграет не менее 38, то есть ровно 38, 39 или 40 партий:

$$P=P(38)+P(39)+P(40).$$

По формуле Бернулли:

$$
P=\binom{40}{38}p^{38}q^2+\binom{40}{39}p^{39}q+\binom{40}{40}p^{40}.
$$

Подставим значения:

$$
P=\binom{40}{38}\cdot 0{,}97^{38}\cdot 0{,}03^2+\binom{40}{39}\cdot 0{,}97^{39}\cdot 0{,}03+\binom{40}{40}\cdot 0{,}97^{40}.
$$

Вычислим приближённо:

$$
\binom{40}{38}=780,\quad \binom{40}{39}=40,\quad \binom{40}{40}=1.
$$

$$
P\approx 780\cdot 0{,}97^{38}\cdot 0{,}03^2+40\cdot 0{,}97^{39}\cdot 0{,}03+0{,}97^{40}\approx 0{,}880.
$$