Упр.20.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 20.17. Некоторые (наименее надёжные) блоки электрической схемы дублируют (рис. 20.9). Вероятности безотказной работы каждого блока в течение года изображены на этом рисунке. Какова вероятность безотказной работы всей системы в течение года?

Подробный ответ

Обозначим вероятности безотказной работы блоков за год:

$$P(A)=p_1,\quad P(B)=p_2,\quad P(C)=p_3.$$

Первый столбец состоит из двух одинаковых блоков, соединённых параллельно, поэтому он не откажет, если не откажет хотя бы один из них:

$$P(X)=1-P^2(\overline{A})=1-(1-p_1)^2.$$

Второй столбец состоит из трёх одинаковых блоков, соединённых параллельно, значит:

$$P(Y)=1-P^3(\overline{B})=1-(1-p_2)^3.$$

Блок $C$ работает независимо от столбцов, поэтому вероятность безотказной работы всей системы равна произведению вероятностей работы всех её частей:

$$P(Z)=P(X)\cdot P(Y)\cdot P(C).$$

Подставим найденные выражения:

$$P(Z)=\bigl(1-(1-p_1)^2\bigr)\bigl(1-(1-p_2)^3\bigr)p_3.$$