Упр.20.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 20.16. Схема состоит из трёх электрических блоков (рис. 20.6), каждый из которых работает безотказно в течение года с вероятностью р. Если выходит из строя хотя бы один блок, то система перестаёт работать. Для увеличения надёжности схему дополняют ещё тремя блоками (рис. 20.7). Какова вероятность безотказной работы системы в течение года? Увеличится ли надёжность системы, если использовать схему, изображённую на рисунке 20.8?

Обозначим через $$p$$ вероятность безотказной работы одного блока в течение года. Тогда вероятность отказа одного блока равна $$1-p$$.

Для первой схемы система работает только тогда, когда безотказно работают все три блока подряд:

$$P_1=p^3.$$

Во второй схеме три таких ряда работают параллельно. Вероятность того, что один ряд не откажет, равна $$p^3$$, значит вероятность отказа одного ряда:

$$1-p^3.$$

Тогда вероятность того, что откажут все три ряда, равна

$$\left(1-p^3\right)^2,$$

и вероятность безотказной работы всей системы:

$$P_2=1-\left(1-p^3\right)^2=1-\left(1-2p^3+p^6\right)=2p^3-p^6.$$

Для схемы на рисунке 20.8 сначала найдём вероятность безотказной работы одного столбца из двух блоков:

$$1-(1-p)^2=1-\left(1-2p+p^2\right)=p(2-p).$$

Тогда для трёх таких столбцов:

$$P_3=\bigl(p(2-p)\bigr)^3=p^3(2-p)^3.$$

Сравним надёжность второй и третьей схем:

$$\frac{P_3}{P_2}=\frac{p^3(2-p)^3}{2p^3-p^6}=\frac{(2-p)^3}{2-p^3}\ge 1,$$

так как при $$0\le p\le 1$$ выполняется $$P_3\ge P_2$$. Значит, схема на рисунке 20.8 надёжнее.

Ответ

$$2p^3-p^6$$; да.