Упр.20.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 20.14. Электрический блок (рис. 20.3) работает безотказно в течение года с вероятностью р. Для увеличения надёжности электрический блок дублируют ещё одним таким же блоком так, что полученная система работает тогда, когда работает по крайней мере один из блоков (рис. 20.4). Какова вероятность безотказной работы системы в течение года, если поломка каждого электрического блока происходит независимо от работы других блоков?

Обозначим через $$A$$ событие: первый блок работает безотказно в течение года. Тогда

$$P(A)=p.$$

Система работает, если работает хотя бы один из двух независимых блоков. Найдём вероятность этого события через противоположное: система не работает только тогда, когда оба блока выйдут из строя.

Вероятность отказа одного блока равна $$1-p$$, значит, вероятность отказа обоих блоков:

$$P(\overline{A}\cap \overline{B})=(1-p)^2.$$

Тогда вероятность безотказной работы системы:

$$P=1-(1-p)^2.$$

Преобразуем:

$$
P=1-(1-2p+p^2)=2p-p^2.
$$

Ответ

$$2p-p^2$$