Упр.2.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2^x+2^(x-1)+2^(x-2)=56;
2) 6·5^x-5^(x+1)-3·5^(x-1)=10;
3) 2·7^x+7^(x+2)-3·7^(x-1)=354;
4) 4^(x-2)-3·2^(2x-1)+5·2^(2x)=228;
5) 4·9^(1,5x-1)-27^(x-1)=33;
6) 0,5^(5-2x)+3·0,25^(3-x)=5;
7) 2^(2x+1)+4^x-(1/16)^(1-0,5x)=47;
8) 4·3^x-5·3^(x-1)-6·3^(x-2)=15·9^(x^2-1).

1. $$2^x+2^{x-1}+2^{x-2}=56$$
   $$2^x+2^x\cdot 2^{-1}+2^x\cdot 2^{-2}=56$$
   $$2^x\left(1+\frac12+\frac14\right)=56$$
   $$2^x\cdot \frac74=56$$
   $$2^x=32=2^5$$
   $$x=5$$
2. $$6\cdot 5^x-5^{x+1}-3\cdot 5^{x-1}=10$$
   $$6\cdot 5^x-5^x\cdot 5-3\cdot 5^x\cdot 5^{-1}=10$$
   $$5^x\left(6-5-\frac35\right)=10$$
   $$5^x\cdot \frac25=10$$
   $$5^x=25=5^2$$
   $$x=2$$
3. $$2\cdot 7^x+7^{x+2}-3\cdot 7^{x-1}=354$$
   $$2\cdot 7^x+7^x\cdot 7^2-3\cdot 7^x\cdot 7^{-1}=354$$
   $$7^x\left(2+49-\frac37\right)=354$$
   $$7^x\cdot \frac{354}{7}=354$$
   $$7^x=7=7^1$$
   $$x=1$$
4. $$4^{x-2}-3\cdot 2^{2x-1}+5\cdot 2^{2x}=228$$
   $$4^x\cdot 4^{-2}-3\cdot 4^x\cdot 2^{-1}+5\cdot 4^x=228$$
   $$4^x\left(\frac1{16}-\frac32+5\right)=228$$
   $$4^x\cdot \frac{57}{16}=228$$
   $$4^x=64=4^3$$
   $$x=3$$
5. $$4\cdot 9^{1{,}5x-1}-27^{x-1}=33$$
   $$4\cdot 3^{2(1{,}5x-1)}-3^{3(x-1)}=33$$
   $$4\cdot 3^{3x-2}-3^{3x-3}=33$$
   $$4\cdot 3^{3x-2}-3^{3x-2}\cdot 3^{-1}=33$$
   $$3^{3x-2}\left(4-\frac13\right)=33$$
   $$3^{3x-2}\cdot \frac{11}{3}=33$$
   $$3^{3x-2}=9=3^2$$
   $$3x-2=2$$
   $$x=\frac43$$
6. $$0{,}5^{5-2x}+3\cdot 0{,}25^{3-x}=5$$
   $$0{,}5^{5-2x}+3\cdot 0{,}5^{2(3-x)}=5$$
   $$0{,}5^{5-2x}+3\cdot 0{,}5^{6-2x}=5$$
   $$0{,}5^{5-2x}+3\cdot 0{,}5^{5-2x}\cdot 0{,}5=5$$
   $$0{,}5^{5-2x}(1+1{,}5)=5$$
   $$0{,}5^{5-2x}\cdot 2{,}5=5$$
   $$0{,}5^{5-2x}=2=0{,}5^{-1}$$
   $$5-2x=-1$$
   $$x=3$$
7. $$2^{2x+1}+4^x-\left(\frac1{16}\right)^{1-0{,}5x}=47$$
   $$2^{2x}\cdot 2+2^{2x}-2^{-4(1-0{,}5x)}=47$$
   $$2^{2x}\cdot 2+2^{2x}-2^{2x-4}=47$$
   $$2^{2x}\left(2+1-\frac1{16}\right)=47$$
   $$2^{2x}\cdot \frac{47}{16}=47$$
   $$2^{2x}=16=2^4$$
   $$2x=4$$
   $$x=2$$
8. $$4\cdot 3^x-5\cdot 3^{x-1}-6\cdot 3^{x-2}=15\cdot 9^{x^2-1}$$
   $$4\cdot 3^{x-2}\cdot 3^2-5\cdot 3^{x-2}\cdot 3-6\cdot 3^{x-2}=15\cdot 3^{2(x^2-1)}$$
   $$3^{x-2}(36-15-6)=15\cdot 3^{2x^2-2}$$
   $$3^{x-2}\cdot 15=15\cdot 3^{2x^2-2}$$
   $$3^{x-2}=3^{2x^2-2}$$
   $$x-2=2x^2-2$$
   $$2x^2-x=0$$
   $$x(2x-1)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=\frac12$$

Ответ

1) $$5$$; 2) $$2$$; 3) $$1$$; 4) $$3$$; 5) $$\frac43$$; 6) $$3$$; 7) $$2$$; 8) $$0,\ \frac12$$.