Упр.2.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v32/16^(x^2)=8^(3x); 3) 2^(x-1)=12^(2x)·3^(-2x)·2^(x+1);
2) 9·3^(sin(x))=v27; 4) (7^(x+1))^(1/5)=49/v7.

1. $$\frac{\sqrt{32}}{16^{x^2}}=8^{3x}$$
   
   Представим всё в виде степеней числа $$2$$:
   $$\sqrt{32}=2^{5/2}, \quad 16^{x^2}=2^{4x^2}, \quad 8^{3x}=2^{9x}.$$
   Тогда
   $$
   2^{5/2-4x^2}=2^{9x}.
   $$
   Приравниваем показатели:
   $$
   \frac{5}{2}-4x^2=9x.
   $$
   Умножим на $$2$$:
   $$
   5-8x^2=18x,
   $$
   $$
   8x^2+18x-5=0.
   $$
   Найдём корни:
   $$
   D=18^2-4\cdot 8\cdot(-5)=324+160=484,
   $$
   $$
   x=\frac{-18\pm 22}{16}.
   $$
   Отсюда
   $$
   x_1=-\frac{5}{2}, \quad x_2=\frac{1}{4}.
   $$
2. $$9\cdot 3^{\sin x}=\sqrt{27}$$
   
   Запишем всё через основание $$3$$:
   $$
   9=3^2,\quad \sqrt{27}=3^{3/2}.
   $$
   Тогда
   $$
   3^2\cdot 3^{\sin x}=3^{3/2},
   $$
   $$
   3^{2+\sin x}=3^{3/2}.
   $$
   Приравниваем показатели:
   $$
   2+\sin x=\frac{3}{2},
   $$
   $$
   \sin x=-\frac{1}{2}.
   $$
   Следовательно,
   $$
   x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
   $$
3. $$2^{x-1}=12^{2x}\cdot 3^{-2x}\cdot 2^{x+1}$$
   
   Преобразуем правую часть:
   $$
   12^{2x}=(4\cdot 3)^{2x}=4^{2x}\cdot 3^{2x}=2^{4x}\cdot 3^{2x}.
   $$
   Тогда
   $$
   12^{2x}\cdot 3^{-2x}\cdot 2^{x+1}=2^{4x}\cdot 2^{x+1}=2^{5x+1}.
   $$
   Получаем:
   $$
   2^{x-1}=2^{5x+1}.
   $$
   Приравниваем показатели:
   $$
   x-1=5x+1,
   $$
   $$
   -4x=2,
   $$
   $$
   x=-\frac{1}{2}.
   $$
4. $$\left(7^{x+1}\right)^{1/5}=\frac{49}{\sqrt{7}}$$
   
   Левая часть:
   $$
   \left(7^{x+1}\right)^{1/5}=7^{\frac{x+1}{5}}.
   $$
   Правая часть:
   $$
   \frac{49}{\sqrt{7}}=\frac{7^2}{7^{1/2}}=7^{3/2}.
   $$
   Тогда
   $$
   7^{\frac{x+1}{5}}=7^{3/2}.
   $$
   Приравниваем показатели:
   $$
   \frac{x+1}{5}=\frac{3}{2},
   $$
   $$
   2x+2=15,
   $$
   $$
   2x=13,
   $$
   $$
   x=\frac{13}{2}.
   $$

Ответ

1) $$-\frac{5}{2},\ \frac{1}{4}$$; 2) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; 3) $$-\frac{1}{2}$$; 4) $$\frac{13}{2}$$.