Упр.2.40 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.40. При каких значениях параметра а уравнения 3^x+3^(x+3)=3^(x+1)+25 и |a-4|·2^x+a·4^x=4 равносильны?

Рассмотрим первое уравнение:

$$3^x+3^{x+3}=3^{x+1}+25.$$

Вынесем $$3^x$$ за скобки:

$$3^x+27\cdot 3^x=3\cdot 3^x+25,$$

$$28\cdot 3^x=3\cdot 3^x+25,$$

$$25\cdot 3^x=25,$$

$$3^x=1,$$

$$x=0.$$

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$$|a-4|\cdot 2^x+a\cdot 4^x=4.$$

Чтобы уравнения были равносильны, второе уравнение тоже должно иметь единственное решение $$x=0$$.

Подставим $$x=0$$:

$$|a-4|\cdot 2^0+a\cdot 4^0=4,$$

$$|a-4|+a=4.$$

Решим это уравнение по случаям.

1) Если $$a\ge 4,$$ то $$|a-4|=a-4$$, и

$$a-4+a=4,$$

$$2a=8,$$

$$a=4.$$

2) Если $$a<4,$$ то $$|a-4|=4-a$$, и

$$4-a+a=4,$$

что верно при любом $$a<4.$$

Значит, второе уравнение имеет решение $$x=0$$ при всех $$a<4$$, а при $$a=4$$ оно также выполняется.

Следовательно, уравнения равносильны при

$$a\in(-\infty;4].$$

Ответ

$$(-\infty;4]$$