Упр.2.39 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.39. При каких значениях параметра а уравнения 4^(x+1)+2^(x+4)=2^(x+2)+16 и |a-9|·3^(x-2)+a·9^(x-1)=1 равносильны?

Подробный ответ

Рассмотрим оба уравнения по отдельности.

1) $$4^{x+1}+2^{x+4}=2^{x+2}+16.$$

Преобразуем к основанию $$2$$:

$$2^{2x+2}+2^{x+4}=2^{x+2}+16,$$
$$4\cdot 2^{2x}+16\cdot 2^x=4\cdot 2^x+16,$$
$$4\cdot 2^{2x}+12\cdot 2^x-16=0.$$

Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

$$4t^2+12t-16=0,$$
$$t^2+3t-4=0,$$
$$(t+4)(t-1)=0.$$

Отсюда $$t=1$$ или $$t=-4$$. Так как $$t>0$$, подходит только $$t=1$$, значит

$$2^x=1 \Rightarrow x=0.$$

2) $$|a-9|\cdot 3^{x-2}+a\cdot 9^{x-1}=1.$$

Преобразуем степени:

$$|a-9|\cdot 3^{x-2}+a\cdot 3^{2x-2}=1,$$
$$\frac{|a-9|}{9}\cdot 3^x+\frac{a}{9}\cdot 3^{2x}=1.$$

Положим $$y=3^x$$, тогда $$y>0$$ и имеем квадратное уравнение:

$$a y^2+|a-9|y-9=0.$$

Чтобы уравнения были равносильны, второе тоже должно иметь единственное решение $$x=0$$, то есть $$y=1$$ — единственный положительный корень.

Подставим $$y=1$$:

$$a+|a-9|-9=0,$$
$$a+|a-9|=9.$$

Рассмотрим случаи:

если $$a\le 9$$, то $$|a-9|=9-a$$, и тогда $$a+9-a=9$$ — верно при любом $$a\le 9$$;
если $$a>9$$, то $$|a-9|=a-9$$, и тогда $$a+a-9=9$$, откуда $$a=9$$, что противоречит $$a>9$$.

Значит, необходимо и достаточно, чтобы $$a\le 9$$.

При этом второе уравнение должно иметь только один положительный корень. Для этого дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=|a-9|^2+36a=(a-9)^2+36a=(a+9)^2.$$

Следовательно, $$D=0$$ только при $$a=-9$$. Тогда уравнение имеет кратный корень $$y=1$$, то есть $$x=0$$.

Кроме того, при $$a=0$$ получаем линейное уравнение:

$$9y-9=0 \Rightarrow y=1,$$

что также даёт единственное решение $$x=0$$.

Для всех $$a$$ из промежутка $$0\le a\le 9$$ уравнение имеет единственное решение $$x=0$$ и потому равносильно первому.