Упр.2.38 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.38. При каких значениях параметра a уравнение (2+v3)^x-(2-v3)^x=2(a-1)x^2+(1/2)a^2 имеет единственное решение?

Рассмотрим уравнение

$$ (2+\sqrt3)^x+(2-\sqrt3)^x=2(a-1)x^2+\frac12a^2. $$

Введём функцию

$$ y=(2+\sqrt3)^x+(2-\sqrt3)^x-2(a-1)x^2-\frac12a^2. $$

Она чётная, так как

$$ y(-x)=(2+\sqrt3)^{-x}+(2-\sqrt3)^{-x}-2(a-1)(-x)^2-\frac12a^2=y(x). $$

Если уравнение имеет единственное решение, то это решение должно быть при $x=0$, иначе вместе с корнем $x_0\neq 0$ был бы и корень $-x_0$.

Подставим $x=0$:

$$ (2+\sqrt3)^0+(2-\sqrt3)^0=2(a-1)\cdot 0^2+\frac12a^2, $$

$$ 1+1=\frac12a^2, $$

$$ a^2=4, \quad a=\pm 2. $$

Проверим оба значения.

1) При $a=2$ получаем

$$ (2+\sqrt3)^x+(2-\sqrt3)^x=2. $$

При $x=0$ левая часть равна $2$, значит, $x=0$ — решение. Но при $x=1$:

$$ (2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4, $$

то есть есть и другое решение, поэтому единственности нет.

2) При $a=-2$ получаем

$$ (2+\sqrt3)^x+(2-\sqrt3)^x= -6x^2+2. $$

Левая часть всегда не меньше $2$, а правая часть не больше $2$. Равенство возможно только при

$$ x=0. $$

Значит, решение единственное.

Ответ

$$ a=-2. $$