Упр.2.37 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.37. При каких значениях параметра a уравнение (3-2v2)^x+(3+2v2)^x=(3a+1)|x|+2a^2 имеет единственное решение?

Рассмотрим уравнение

$$ (3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x=(3a+1)|x|+2a^2. $$

Обозначим

$$ y(x)=(3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x-(3a+1)|x|-2a^2. $$

Функция чётная, так как

$$
y(-x)=(3-2\sqrt2)^{-x}+(3+2\sqrt2)^{-x}-(3a+1)|-x|-2a^2
$$

$$
=(3+2\sqrt2)^x+(3-2\sqrt2)^x-(3a+1)|x|-2a^2=y(x).
$$

Если уравнение имеет единственное решение, то из чётности следует, что это решение должно быть $$x=0$$.

Подставим $$x=0$$:

$$
(3-2\sqrt2)^0+(3+2\sqrt2)^0=(3a+1)|0|+2a^2
$$

$$
1+1=2a^2
$$

$$
a^2=1,\quad a=\pm1.
$$

Проверим оба значения.

1) $$a=1$$. Тогда

$$
(3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x=4|x|+2.
$$

При $$x=0$$ получаем решение, но также при $$x=1$$:

$$
(3-2\sqrt2)^1+(3+2\sqrt2)^1=6,
$$

$$
4|1|+2=6.
$$

Значит, решение не единственное.

2) $$a=-1$$. Тогда

$$
(3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x=2-2x.
$$

Левая часть не меньше 2, так как для любого $$x$$

$$
(3-2\sqrt2)^x+(3+2\sqrt2)^x\ge 2.
$$

Следовательно, должно быть

$$
2-2x\ge 2,
$$

то есть $$x\le 0$$. Но при $$x=0$$ равенство выполняется, а при $$x<0$$ правая часть больше 2, тогда как левая часть строго больше 2, и дополнительных решений не возникает. Значит, единственное решение — $$x=0$$.

Ответ

$$a=-1$$.