Упр.2.36 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.36. При каких значениях параметра а уравнение (1/3)^(|x|)=(a+1/3)x^2+a^2 имеет единственное решение? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 merzlyak11 2-36 118
Рассмотрим функцию
$$y=\left(\frac13\right)^{|x|}-\left(a+\frac13\right)x^2-a^2.$$
Она чётная, так как
$$y(-x)=\left(\frac13\right)^{|-x|}-\left(a+\frac13\right)(-x)^2-a^2=y(x).$$
Значит, если $$x_0$$ — корень уравнения, то и $$-x_0$$ тоже корень. Чтобы уравнение имело единственное решение, это решение должно быть $$x=0$$.
Подставим $$x=0$$:
$$\left(\frac13\right)^{|0|}=\left(a+\frac13\right)\cdot 0^2+a^2,$$
$$1=a^2,$$
$$a=\pm 1.$$
Проверим оба значения.
1) При $$a=1$$ получаем
$$\left(\frac13\right)^{|x|}=\frac43x^2+1.$$
Левая часть не превосходит $$1$$, а правая не меньше $$1$$. Равенство возможно только при
$$\left(\frac13\right)^{|x|}=1,\qquad \frac43x^2+1=1,$$
то есть при $$x=0$$. Значит, решение единственно.
2) При $$a=-1$$ имеем
$$\left(\frac13\right)^{|x|}=1-\frac23x^2.$$
Проверим несколько значений:
$$x=0 \Rightarrow 1=1,$$
$$x=\pm 1 \Rightarrow \frac13=1-\frac23=\frac13.$$
Получаем три решения, значит, единственности нет.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение только при $$a=1$$.
Ответ
$$a=1$$
