Упр.2.35 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.35. При каких значениях параметра а уравнение 2^(|x|)=ax^2+a^2 имеет единственное решение?

Рассмотрим функцию

$$y=2^{|x|}-ax^2-a^2.$$

Она чётная, так как

$$y(-x)=2^{|-x|}-a(-x)^2-a^2=2^{|x|}-ax^2-a^2=y(x).$$

Если уравнение имеет единственное решение, то это решение должно быть при $$x=0$$, иначе вместе с корнем $$x$$ был бы и корень $$-x$$.

Подставим $$x=0$$:

$$2^{|0|}=a\cdot 0^2+a^2,$$

$$1=a^2,$$

откуда

$$a=\pm 1.$$

Проверим оба значения.

1) $$a=1$$. Тогда

$$2^{|x|}=x^2+1.$$

При $$x=0$$ получаем $$1=1$$, а при $$x=1$$:

$$2^{|1|}=1^2+1,$$

$$2=2.$$

Значит, решений больше одного.

2) $$a=-1$$. Тогда

$$2^{|x|}=-x^2+1.$$

Левая часть не меньше $$1$$, а правая не больше $$1$$. Равенство возможно только при $$x=0$$:

$$2^{|0|}=1,\qquad -0^2+1=1.$$

Следовательно, решение единственное.

Ответ

$$a=-1$$