Упр.2.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.34. Решите уравнение 2^(cos(x))+2^(sin(x))=2^(1-v2/2).

Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$
2^{\cos x}+2^{\sin x}\ge 2\sqrt{2^{\cos x}\cdot 2^{\sin x}}
=2\sqrt{2^{\cos x+\sin x}}.
$$

Так как

$$
\cos x+\sin x=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\sin x\right)
=\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right),
$$

то

$$
\cos x+\sin x\ge -\sqrt2.
$$

Следовательно,

$$
2^{\cos x}+2^{\sin x}\ge 2\sqrt{2^{-\sqrt2}}
=2^{1-\frac{\sqrt2}{2}}.
$$

Равенство возможно тогда и только тогда, когда

$$
2^{\cos x}=2^{\sin x},
$$

то есть

$$
\cos x=\sin x,
$$

и одновременно

$$
\cos x+\sin x=-\sqrt2.
$$

Из равенства $$\cos x=\sin x$$ получаем

$$
\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\pm 1.
$$

Чтобы сумма была равна $$-\sqrt2$$, нужно

$$
\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1.
$$

Тогда

$$
x-\frac{\pi}{4}=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,
$$

$$
x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.
$$

Ответ

$$
x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.
$$