Упр.2.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.33. Решите уравнение 4^(tg(x))+4^(ctg(x))=8.
Рассмотрим уравнение
$$4^{\tg x}+4^{\ctg x}=8.$$
Положим $$a=\tg x,\quad b=\ctg x.$$ Тогда $$ab=1.$$
Если $$\tg x\le 0,$$ то $$4^{\tg x}\le 1$$ и $$4^{\ctg x}\le 1,$$ значит
$$4^{\tg x}+4^{\ctg x}\le 2,$$
что невозможно, так как справа стоит $$8.$$ Следовательно, $$\tg x>0$$ и $$\ctg x>0.$$
Тогда по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим
$$4^{\tg x}+4^{\ctg x}\ge 2\sqrt{4^{\tg x}\cdot 4^{\ctg x}}=2\sqrt{4^{\tg x+\ctg x}}.$$
Так как $$\tg x\cdot \ctg x=1,$$ то
$$\tg x+\ctg x\ge 2,$$
следовательно,
$$4^{\tg x+\ctg x}\ge 4^2=16,$$
и потому
$$4^{\tg x}+4^{\ctg x}\ge 2\sqrt{16}=8.$$
Равенство достигается тогда и только тогда, когда
$$4^{\tg x}=4^{\ctg x},$$
то есть
$$\tg x=\ctg x.$$
Отсюда
$$\tg^2 x=1,$$
а с учётом $$\tg x>0$$ получаем
$$\tg x=1.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Ответ
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
