Упр.2.31 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.31. Решите уравнение 4^x-(19-3x)·2^x+34-6x=0.

Подробный ответ

Положим $$t=2^x,$$ тогда $$4^x=(2^x)^2=t^2.$$ Получаем квадратное уравнение:

$$t^2-(19-3x)t+34-6x=0.$$

Решим его как квадратное относительно $$t$$:

$$D=(19-3x)^2-4(34-6x).$$

$$D=361-114x+9x^2-136+24x=9x^2-90x+225=(3x-15)^2.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{19-3x\pm(3x-15)}{2}.$$

1) $$t_1=\frac{19-3x-(3x-15)}{2}=17-3x,$$ то есть

$$2^x=17-3x.$$

Проверим целые значения. При $$x=1$$ получаем $$2^1=2$$ и $$17-3\cdot1=14,$$ не подходит. При $$x=3$$ получаем $$2^3=8$$ и $$17-3\cdot3=8,$$ подходит.

2) $$t_2=\frac{19-3x+(3x-15)}{2}=2,$$ значит

$$2^x=2,$$ откуда $$x=1.$$

Оба найденных значения удовлетворяют уравнению.