Упр.2.30 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.30. При каких значениях параметра a уравнение (vx-a)(2^(2x)-10·2^x+16)=0 имеет два различных корня?

Рассмотрим уравнение

$$\left(\sqrt{x}-a\right)\left(2^{2x}-10\cdot 2^x+16\right)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$\sqrt{x}-a=0 \Rightarrow \sqrt{x}=a \Rightarrow x=a^2,$$ при этом должно быть $$a\ge 0.$$

2) Решим уравнение

$$2^{2x}-10\cdot 2^x+16=0.$$

Положим $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-10t+16=0.$$

$$D=10^2-4\cdot 16=100-64=36,$$

$$t_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}.$$

Получаем

$$t_1=2,\quad t_2=8.$$

Значит,

$$2^x=2 \Rightarrow x=1,$$

$$2^x=8 \Rightarrow x=3.$$

Итак, уравнение всегда имеет корни $$x=1$$ и $$x=3,$$ а также может иметь корень $$x=a^2$$ при $$a\ge 0.$$

Чтобы корней было ровно два различных, нужно, чтобы корень $$x=a^2$$ совпал с одним из найденных корней или не появился вовсе.

Если $$a<0,$$ то уравнение $$\sqrt{x}=a$$ не имеет решений, и остаются только два корня: $$x=1$$ и $$x=3.$$

Если $$a\ge 0,$$ то нужно, чтобы

$$a^2=1 \quad \text{или} \quad a^2=3.$$

Отсюда

$$a=1 \quad \text{или} \quad a=\sqrt{3}.$$

При этих значениях параметра корень $$x=a^2$$ совпадает соответственно с $$x=1$$ или $$x=3,$$ поэтому различных корней снова будет два.

Ответ

$$a\in(-\infty;0)\cup\{1;\sqrt{3}\}.$$