Упр.2.29 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.29. При каких значениях параметра a уравнение (vx-a)(3^(2x)-4·3^x+3)=0 имеет два различных корня?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$\left(\sqrt{x}-a\right)\left(3^{2x}-4\cdot 3^x+3\right)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$\sqrt{x}-a=0 \Rightarrow \sqrt{x}=a \Rightarrow x=a^2,$$ при этом должно быть $$a\ge 0.$$

2) $$3^{2x}-4\cdot 3^x+3=0.$$ Обозначим $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-4t+3=0,$$

$$D=16-12=4,$$

$$t_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=1 \Rightarrow 3^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$t_2=3 \Rightarrow 3^x=3 \Rightarrow x=1.$$

Итак, второе уравнение даёт корни $$x=0$$ и $$x=1.$$

Чтобы исходное уравнение имело два различных корня, корень $$x=a^2$$ должен совпасть ровно с одним из чисел $$0$$ или $$1$$, но не совпадать с обоими.

Рассмотрим возможные значения:

$$a^2=0 \Rightarrow a=0,$$ тогда корень $$x=0$$ не добавляется, остаются корни $$0$$ и $$1$$;
$$a^2=1 \Rightarrow a=\pm 1,$$ но с учётом условия $$a\ge 0$$ получаем $$a=1,$$ тогда корень $$x=1$$ не добавляется, остаются корни $$0$$ и $$1$$;
при $$a<0$$ уравнение $$\sqrt{x}=a$$ решений не имеет, и остаются только корни $$0$$ и $$1$$.

Значит, два различных корня будут при

$$a\in(-\infty;0]\cup\{1\}.$$