Упр.2.28 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3^x=11-x; 3) 4^(x-2)+6^(x-3)=100;
2) 8^(5-x)=x+4; 4) 3^(x-2)=9/x.

1. $$3^x=11-x$$

   Рассмотрим функции $$y=3^x$$ и $$g=11-x$$. Первая функция возрастает, вторая убывает, значит уравнение может иметь не более одного корня.

   Проверим $$x=2$$:

   $$3^2=9,\quad 11-2=9.$$

   Значит, $$x=2$$ — корень уравнения.

2. $$8^{5-x}=x+4$$

   Функция $$y=8^{5-x}$$ убывает, а $$g=x+4$$ возрастает, поэтому корень может быть только один.

   Проверим $$x=4$$:

   $$8^{5-4}=8,\quad 4+4=8.$$

   Следовательно, $$x=4$$.

3. $$4^{x-2}+6^{x-3}=100$$

   Функции $$y=4^{x-2}$$ и $$g=6^{x-3}$$ возрастают, значит уравнение имеет не более одного корня.

   Проверим $$x=5$$:

   $$4^{5-2}+6^{5-3}=4^3+6^2=64+36=100.$$

   Значит, $$x=5$$ — корень уравнения.

4. $$3^{x-2}=\frac{9}{x}$$

   Область допустимых значений: $$x>0$$.

   Функция $$y=3^{x-2}$$ возрастает, а $$g=\frac{9}{x}$$ при $$x>0$$ убывает, поэтому корень может быть только один.

   Проверим $$x=3$$:

   $$3^{3-2}=3,\quad \frac{9}{3}=3.$$

   Следовательно, $$x=3$$.

Ответ

1) $$2$$; 2) $$4$$; 3) $$5$$; 4) $$3$$.