Упр.2.27 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2^x=3-x; 3) 7^(6-x)=x+2;
2) 3^x+4^x=5^x; 4) 3^(x-1)+5^(x-1)=34.

1. Рассмотрим уравнение $$2^x=3-x.$$

   Функция $$y=2^x$$ возрастает, а функция $$g=3-x$$ убывает. Значит, уравнение может иметь не более одного решения.

   Проверим значение $$x=1$$:

   $$2^1=2,\qquad 3-1=2.$$

   Следовательно, $$x=1$$ — решение.

2. Решим уравнение $$3^x+4^x=5^x.$$

   Разделим обе части на $$5^x$$:

   $$\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{4}{5}\right)^x=1.$$

   Функции $$\left(\frac{3}{5}\right)^x$$ и $$\left(\frac{4}{5}\right)^x$$ убывают, значит левая часть уравнения убывает и решение может быть только одно.

   Проверим $$x=2$$:

   $$\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1.$$

   Значит, $$x=2$$.

3. Решим уравнение $$7^{6-x}=x+2.$$

   Функция $$y=7^{6-x}$$ убывает, а функция $$g=x+2$$ возрастает. Поэтому уравнение имеет не более одного решения.

   Проверим $$x=5$$:

   $$7^{6-5}=7,\qquad 5+2=7.$$

   Следовательно, $$x=5$$.

4. Решим уравнение $$3^{x-1}+5^{x-1}=34.$$

   Функции $$3^{x-1}$$ и $$5^{x-1}$$ возрастают, значит левая часть уравнения возрастает и решение может быть только одно.

   Проверим $$x=3$$:

   $$3^{3-1}+5^{3-1}=3^2+5^2=9+25=34.$$

   Значит, $$x=3$$.

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=2$$; 3) $$x=5$$; 4) $$x=3$$.